本ページでは、相関係数と回帰係数の関係についてまとめたい。
相関係数
２つの変数間の関係を示したものが相関係数である。相関係数の導出のためには、まず共分散を知っておく必要がある。
共分散は、
で求められる。i番目のｘ、ｙの平均との乖離が同じ方向であればプラス、違う方向であればマイナスとなる。ｘとｙの平均との乖離の積をｎ番目まで合計し、ｎで除したものが共分散となる。全体としてｘとｙが同じ方向に動けばプラス、違う方向に動けばマイナスとなる。
そして、相関係数は以下のように表せる。
σ_x、σ_yはそれぞれの標準偏差となる。相関係数はー１から１までの数をとり、０の場合はｘとｙには関係がないということになる。（なぜー１から１までの値をとるかは、高校数学で習うコーシー・シュワルツの不等式で示すことができる。）
回帰係数
ｙを被説明変数、ｘを説明変数として回帰分析を行うことを考える。
このとき、最小二乗法によって求めた回帰係数の推定値は以下のように表せる。
相関係数と回帰係数の関係
以上より、相関係数と回帰係数の関係は以下のように表すことができる。
（参考）：
