本ページでは、対数を含む回帰式における係数の解釈についてまとめたい。
以下、３つの種類の回帰式において、それぞれの係数の読み取り方について説明する。lnは自然対数を示す。
①Y=a+bX+u
こちらは、対数を含まない標準的な回帰式である。この式において、「Xが１増えた場合、Yはb増える」と考えることができる。
②ln(Y)=a+bln(X)+u
説明変数、被説明変数の両方が対数変換された回帰式である。ここでは、「Xが１％増えた場合、Yがb％増える」と解釈することができる。
③ln(Y)=a+bX+u
被説明変数にのみ対数がかかったバージョンである。このとき、「Xが１増えた場合、Yがb×100％増える」と解釈することができる。
④Y = a+bln(X)+u
説明変数のみ対数変換を行った場合の回帰式である。このとき、「Xが１％増えた場合、Yがb/100増える」と解釈することができる。
増加率と対数差分の近似について
上記のような対数を含む回帰式における係数の解釈にあたっては、以下の近似関係を応用する。この近似は、経済・統計分析において頻出する考え方となる。
lnX1 - lnX0 ≈ (X1-X0)/X0
この関係は、一言でいえば対数差分が増加率と近似的に等しくなる、ということを示している。
上記③の回帰式を例にとってみると、時点が0から１に変化したとするとき、
lnY1 - lnY0 = b(X1-X0) + u1 - u0 ≈ (Y1-Y0)/Y0
となり、左辺の被説明変数は増加率（変化率）となる。パーセント表示にするためには両辺を100倍する必要があり、よってＸが１増えるとＹはｂ×100％増えると解釈することができる。
次にこの関係式の導出をしてみたい。
まず準備として、f(x)=ln(1+x)の微分を行うと、
f'(x)=1/(1+x)
となる。f(x)=ln(1+x)のグラフの接線を考えた時、原点（x=0）においては、上記の微分計算により接線の傾きは１であることが分かる。よって、接線の方程式はy=xとなる。
そのため、原点のまわりでは（xが０に限りなく近いときは）、ln(1+x)はxに近似するということができる。
このln(1+x)≈xという関係を用いて、最初の増加率と対数差分の近似関係の導出が可能となる。
lnX1 - lnX0 = ln(X1/X0) = ln(1+ X1/X0 -1) = ln(1+ (X1-X0)/X0) ≈ (X1-X0)/X0
（出典）：
田中隆一（2015）「計量経済学の第一歩 実証分析のススメ」有斐閣ストゥディア
松浦寿幸（2021）「第3版 Ｓｔａｔａによるデータ分析入門」東京図書
尾山大輔、安田洋佑(2013)「［改訂版］経済学で出る数学高校数学からきちんと攻める」日本評論社
