オイラー方程式について
本ページでは、マクロ経済学で登場する消費に関するオイラー方程式についてまとめたい。家計の消費行動を考える際、異時点間の消費の決定に関する理論となる。
オイラー方程式
以下、２期間（１期、２期）のモデルを考える。
家計は消費（C）によって効用を得る。効用関数は以下の通りである。
ここで、βは主観的割引率と呼ばれる。将来の効用を一定程度割り引く（つまり、現在の効用の方をより重視する）はたらきを持つ。
各期において家計は所得Yを得る。１期では、家計は消費をしなかった分だけ貯蓄（S）を行う。
２期においては、２期の所得と、貯蓄を全て消費に回す。このとき、貯蓄は利子率ｒで運用される。
１期と２期の予算制約を整理すると、
となる。Iは、１期、２期を通じた予算を示す。
この全期間を通じた予算制約を最初の効用関数に代入すると、
となる。これで、効用関数を一期の消費のみに依存する形に書き換えることができた。
効用最大化条件は一階微分＝０であり、これを整理すると、
となる。2期の消費への効用部分の微分には、合成関数の微分の方法（関数全体の微分に中身の微分をかける）を用いる。
これを整理すると、
となる。これが消費のオイラー方程式である。
簡単化のためｒ＝βを仮定すると、１期の消費の限界効用と2期の消費の限界効用が等しくなることが分かる。このように、家計は消費を平準化させていることが分かる。
また、β＝0を仮定すると、限界効用の比が1+rになっているとわかる。これは、1期の消費を1単位あきらめたことで、2期の消費が追加的に利子率分だけ増えることを意味する。
利子率が変化した場合
利子率が変化した場合に、今期と来期の消費量に変化が生じるか検証する。
予算制約より、1/(1+r)が、1期の消費財の価格と2期の消費財の価格の比になっていることが分かる。ｒが上昇した時、2期の消費財は相対的に安くなるので、1期から2期に消費の代替が起こる。この効果を代替効果という。
一方で、利子率の上昇は予算（所得）の上昇を意味する。よって、予算が増えたことから、1期の消費も増やそうという動きが起こる。この効果を所得効果という。
では、1期の消費は利子率が上昇したことによって増えるのか、減るのか？これは、代替効果と所得効果のどちらが強いかによって決定されることとなる。
代替効果、所得効果については以下のページも参照されたい。
（参考）:
